如图△ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度.

问题描述:

如图△ABC三边长分别是BC=17,CA=18,AB=19,过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PD,PE,PF,且BD+CE+AF=27,求BD+BF的长度.

如图,连接PA,PB,PC,
设BD=x,CE=y,AF=z,
则DC=17-x,EA=18-y,FB=19-z,
在Rt△PBD和Rt△PFB中,
有x2+PD2=(19-z)2+PF2
同理有:

y2+PE2=(17−x)2+PD2
z2+PF2=(18−y)2+PE2

将以上三式相加,
得x2+y2+z2=(17-x)2+(18-y)2+(19-z)2
即17x+18y+19z=487
又因为x+y+z=27,
所以x=z-1,
所以BD+BF=x+(19-z)=z-1+19-z=18.
答案解析:连接AP、BP、CP,构成6个直角三角形,分别根据3对直角三角形的斜边边长相等,可以列出方程求解.
考试点:勾股定理.

知识点:本题考查了勾股定理的灵活运用,主要是构建直角三角形,找到合适的直角三角形是解题的关键.