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小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长．（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数．操作二：如图2，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，已知两直角边AC=4cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？操作三：如图3，小丽又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB．你能证明：BC2+AD2=AC2+BD2吗？

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:55:18
问题描述：

小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．

（1）如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长．
（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数．
操作二：如图2，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，已知两直角边AC=4cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？
操作三：如图3，小丽又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB．你能证明：BC2+AD2=AC2+BD2吗？

答

操作一：
（1）由对称性可得AD=BD，∵△ACD的周长=AC+CD+AD，
∴△ACD的周长=AC+CD+BD=AC+BC=8+6=14（cm）；
（2）设∠CAD=4x，∠BAD=7x由题意得方程：7x+7x+4x=90，
解之得x=5，
所以∠B=35°；
操作二：∵AC=4cm，BC=8cm，
∴AB=

 AC2+BC2
=
 42+82
=4
 5
cm，
根据折叠性质可得AC=AE=4cm，
∴BE=AB-AE=4
 5
-4，
设CD=x，则BD=8-x，DE=x，
在Rt△BDE中，由题意可得方程x2+（4
 5
-4）2=（8-x）2，
解之得x=2
 5
-2，
∴CD=2（
 5
-1）cm；
操作三：
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC2=BD2+CD2
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD2+CD2=AC2
∴BC2+AD2=BD2+CD2+AD2=AC2+BD2
答案解析：操作一 利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后分别利用周长及三角形的内角和可求得答案；
操作二 利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案；
操作三 两次运用勾股定理可答案．
考试点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
知识点：本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．

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