极限lim x→pi/3,求 (sinx-√3/2)/(x-pi/3)不用洛比达法则求也不用泰勒展开式 等关系导数的,这个题是函数,极限与连续那一章后面的题,还没涉及后面的知识,不知道是否题出得不对

令t=x-pi/3, x=t+pi/3
lim x→pi/3 (sinx-√3/2)/(x-pi/3)
=lim t→0 [sin(t+pi/3)-√3/2]/t
=lim t→0 [sint/2+√3/2(cost-1)]/t
=lim t→0 [sin(t/2)cos(t/2)-√3(sin^2(t/2))]/t
=lim t→0 sin(t/2)[cos(t/2)/2-√3sin(t/2)/2]/(t/2)
=1/2.

利用sinx在x=pi/3点的泰勒展开式
sinx=sin(pi/3)+cos(pi/3)(x-pi/3)+o((x-pi/3))=√3/2+(x-pi/3)/2+o((x-pi/3))
所以
lim (x→pi/3)(sinx-√3/2)/(x-pi/3)=1/2

和差化积sinx-√3/2=sinx-sinpi/3=2cos((x+pi/3)/2)*sin((x-pi/3)/2)
所以原式=2cos((x+pi/3)/2)*1/2=1/2