已知函数f(x)=x2-2ax+5,若f(x)在区间(-∞,2〕上是减函数,且对任意的 x1,x2∈〔1,a+1〕,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.

问题描述:

已知函数f(x)=x2-2ax+5,若f(x)在区间(-∞,2〕上是减函数,且对任意的 x1,x2∈〔1,a+1〕,总有|f(x1)-f(x2)|≤4,求实数a的取值范围.

∵f(x)=x2-2ax+5的对称轴是x=a,
且f(x)在区间(-∞,2〕上是减函数,
∴a≥2;
又对任意的 x1,x2∈〔1,a+1〕,
总有|f(x1)-f(x2)|≤4,
∴|f(1)-f(a)|≤4,
即|a2-2a+1|≤4,
解得-1≤a≤3,
综上,a的取值范围是{a|2≤a≤3}.
答案解析:二次函数f(x)的对称轴x=a在(-∞,2〕的右侧时,f(x)在(-∞,2〕上是减函数,
且对任意的 x1,x2∈〔1,a+1〕,有|f(x1)-f(x2)|≤4,得到a的不等式,
求出a的取值范围.
考试点:二次函数在闭区间上的最值.


知识点:本题考查了二次函数单调性以及应用单调性求不等式的解集问题,是基础题.