设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-1/2,=60°,求|c|的最大值.参考答案是这样的：|a+b|=√(a^2+b^2+2a·b)=1.一方面,(a-c)·(b-c)=a·b-(a+b)·c+c^2=-1/2-(a+b)·c+|c|^2；另一方面,(a-c)·(b-c)=1/2|a-c|·|b-c|≤[(a-c)^2+(b-c)^2]/4=[1-(a+b)·c+|c|^2]/2,于是有-1/2-(a+b)·c+|c|^2≤[1-(a+b)·c+|c|^2]/2,即|c|^2≤2+(a+b)·c≤2+|a+b|·|c|=2+|c|,|c|^2-|c|-2=(|c|-2)(|c|+1)≤0,|c|≤2,当且仅当{|a-c|=|b-c|,{a+b,c同向共线时取等号,即|c|的最大值是2.最后那里,当且仅当为什么要加上 a+b,c同向共线 这个 a+b,c同向共线是怎么得来的?
问题描述：
设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=-1/2,=60°,求|c|的最大值.
参考答案是这样的：|a+b|=√(a^2+b^2+2a·b)=1.一方面,(a-c)·(b-c)=a·b-(a+b)·c+c^2=-1/2-(a+b)·c+|c|^2；另一方面,(a-c)·(b-c)=1/2|a-c|·|b-c|≤[(a-c)^2+(b-c)^2]/4=[1-(a+b)·c+|c|^2]/2,于是有-1/2-(a+b)·c+|c|^2≤[1-(a+b)·c+|c|^2]/2,即|c|^2≤2+(a+b)·c≤2+|a+b|·|c|=2+|c|,|c|^2-|c|-2=(|c|-2)(|c|+1)≤0,|c|≤2,
当且仅当
{|a-c|=|b-c|,
{a+b,c同向共线
时取等号,即|c|的最大值是2.
最后那里,当且仅当为什么要加上 a+b,c同向共线
这个 a+b,c同向共线是怎么得来的?
答
前面的解答,我不重复.这里只回答(a+b).c为什么要同向共线,才能有|c|ma2.
...,即|c|^2≤2+(a+b).c≤2+|a+b|.|c| （*）
关键在此：(a+b).c=|a+b||c|cos.
当cos=1,即=0°时,才有 (a+b).c=|a+b|.|c| ,也就是(a+b).与c共线且两个向量的方向相同,即同向共线时,(*)不等式才能取等号.