把已知正整数n表示为若干个正整数(至少3个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为n的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如:(1,4,7)与(7,1,4)为12的相同等差分拆.正整数27的不同等差分拆有(  )个.A. 9B. 10C. 11D. 12

问题描述:

把已知正整数n表示为若干个正整数(至少3个,且可以相等)之和的形式,若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列,则称这些数为n的一个等差分拆.将这些正整数的不同排列视为相同的分拆.如:(1,4,7)与(7,1,4)为12的相同等差分拆.正整数27的不同等差分拆有(  )个.
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

∵27=1×27=3×9.∴可以考虑以下等差分拆.
①以9为等差中项的三个整数的分拆共有以下9个:27=1+9+17=2+9+16=…=9+9+9;
②等差分拆为9个数的共有以下1个:3,3,3,3;3,3,3,3,3;
③等差分拆为27个数的共有以下1个:1,1,…,1(共27个1).
④若公差d=1,则2+3+4+5+6+7=27,
综上可知:正整数27的不同等差分拆共有1,2个.
故选:D.
答案解析:根据等差分拆的定义,分别讨论公差和等差分拆的个数,分别讨论即可得到结论.
考试点:等差数列的性质.


知识点:本题主要考查等差数列的应用,正确理解题意是解决本题的关键,要熟练掌握分类讨论思想方法、综合性较强,难度较大.