等价关系和划分怎样证明集合X的一个划分确定X的一个等价关系.反之,X的一个等价关系确定X的一个划分.我知道打答案很麻烦,会多加分的.

这个就是很直接的验证.
如果A_i是X的一个划分,那么可以定义二元关系
x=y当且仅当存在指标i使得x,y同时属于A_i.
直接验证这个确实满足等价关系的定义.
反之,如果有一个X上的等价关系,那么对于X中的每个x,记A_x是与x等价的元素集合.然后在所有{A_x}中,去掉所有重复的集合,即若A_x=A_y,只保留其中一个,组成一个新的集合簇{A_i}(注：这一步用了选择公理,我不知道是否是必需的),于是A_i和A_j的交为空集并且所有A_i的并就是X.