4、有两个杯子,甲盛水、乙盛果汁,甲杯的水是乙杯果汁的2倍.先将甲杯的水倒进乙杯,使乙杯内的液体增加一倍,调匀；再将乙杯的果汁水倒进甲杯,便甲杯内的液体增加一倍,调匀；再将甲杯的果汁水倒进乙杯,使乙杯内的液体增加一倍,……如此倒五次,最后乙杯里果汁占果汁水的几分之几?

不知道你五次是怎么算的,是甲倒入乙算一次还是甲倒入乙,再从乙倒入甲算一次.下面按后者算,简称为偶数次情况,前者比较简单,自己类推.

甲杯是乙杯的2倍,而且每次倒都是使另一者加倍,因此将水,果汁分开看,还是比较简单的,画个示意图给你看下.

用a,b,c,d分别表示甲水,甲果汁,乙水,乙果汁

那么甲倒入乙,有：a(n+1)=1/2an  

                                b(n+1)=1/2bn  

                                c(n+1)=a（n+1）+cn 

                                d(n+1)=b(n+1)+dn

乙倒入甲,有： c(n+2)=1/2c(n+1)

                          d(n+2)=1/2d(n+1)

                          a(n+2)=a(n+1)+c(n+2)

                          b(n+2)=b(n+1)+d(n+2)

联立上面的8个,可以得到： a（n+2）=3/4an+1/2cn

                                              b（n+2）=3/4bn+1/2dn

                                              c（n+2）=1/2cn+1/4an

                                              d（n+2）=1/2dn+1/4bn

n=2k   k∈N   我前面所说的次数的区别了就体现在这里

要求的是最后乙杯里果汁占果汁水,所以只看b,d两类,其它有兴趣自己研究

对于任何情况,有          bn+dn=1/2（an+cn）=常数C  就是水是果汁的两倍

对于偶数次情况,有       cn+dn=1/2（an+bn）=常数C  就是甲杯的量是乙杯的两倍,C也相当于刚开始乙杯的量.

     d（n+2）=1/2dn+1/4bn

                    =1/4dn+1/4dn+1/4bn

                    =1/4dn+1/4C

                    =1/4（dn+C）

于是有    d（n+2）-1/3C= 1/4(dn-1/3C)

d(n+2)-1/3C是公比为1/4的等比数列,可求得

d(n)-1/3C=（d0-1/3C）*（1/4）^(n)    因为是从d0开始的,所以指数为n而不是n-1,为了下文的美观

d0=C 于是有

d(n)=1/3C+2/3C*（1/4）^(n)    n∈N   

乙杯里果汁占果汁水的?我也不清楚你要求什么,按照乙杯里果汁占乙杯总液体量来求,设为X,

即 X= d（n）/（d（n）+c（n））

      =d（n）/C 

令 n= 5 可得 X=513/1536

也可以从式子中看出是趋于混合均匀的1/3的

lim（n→∞）X=1/3

当然有简单的方法,发现讲得太详细了太长了.捂脸闪人~~~