有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用g(t)＝pr+[g(0)−pr]e−rvt(p≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），g（0）表示湖水污染初始质量分数．（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析g(0)＜pr时，湖水的污染程度如何．
问题描述：
有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量．现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合．用g(t)＝
+[g(0)−p r
]e−p r
t(p≥0)，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数），g（0）表示湖水污染初始质量分数．r v
（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；
（2）分析g(0)＜
时，湖水的污染程度如何． p r
答
知识点：本题考查含有字母参数函数的性质研究，属于中档题．在求值和讨论单调性时，应该注意因式分解技巧的应用．
（1）设0≤t1＜t2，因为g（t）为常数，g（t1）=g（t2），即[g(0)−pr][e−rvt1−e−rvt2]＝0，则g(0)＝pr；（2）设0＜t1＜t2，g（t1）-g（t2）=[g(0)−pr][e−rvt1−e−rvt2]=[g(0)−pr]•ervt2−ervt1erv(t1+t2)因...
答案解析：（1）根据湖水污染质量分数为一个常数，可以设0≤t1＜t2，必有g（t1）=g（t2），因式分解得关于g（0）的方程，解这个方程可得g(0)＝
；p r
（2）设0＜t1＜t2，利用作差将所得式子因式分解，再根据已知条件讨论这个差的正负，可得g（t1）＜g（t2），可得函数为增函数，所以随着时间的推移，湖水污染越来越严重．
考试点：函数模型的选择与应用．
知识点：本题考查含有字母参数函数的性质研究，属于中档题．在求值和讨论单调性时，应该注意因式分解技巧的应用．