at school / at home为什么不加定冠词The?另外,有那些常见的介词用法?at a factory这个更郁闷，为啥要定冠词a?这种如果我说错，比如说 at the school / at factory（或at the factory）会有问题吗？

at 后面一般不加定冠词，有的也是，那些需要背下来。专有名词在原词有the的时候也加。

at school/ at home这种情况可以解释为school，home当副词用了：
eg. Beijing Opera is famous home and abroad. ”驰名中外”
也可以当成固定短语表示状态。不过factory应该没有这种用法，必须要加冠词。
加了定冠词at the school 表示在“那所”学校里之类的意思，一般不太常用，也没有必要。
a/the 名字叫不定/定冠词，就是为了表示后面的词是不是特指的。这个结合语境吧。
要是at the factory的话就表示你和听你说话的人都知道你指的是哪个工厂。

首先 关于homen.家,住宅；家乡；产地；避难所 adv.在家,回家；深入地adj.国内的,家庭的；有效的 vt.归巢,回家副词相当于 介词+名词当home作副词时,前面不用加介词了,例如come home、go home的词组,home前没有介词to,...

因为加了the就表示特制了，就像"that" ，那个家，那个学校。所以一般的不这么用。
但是你要是想表达"那个工厂"，就是特指的那一家，就可以用at the factory.