求证：正交矩阵A是正定矩阵的充分必要条件为A是单位矩阵
问题描述：
求证：正交矩阵A是正定矩阵的充分必要条件为A是单位矩阵
答
设k是A的特征值
则k是A^T的特征值,1/k是A^-1 的特征值
因为A正交,则 A^-1=A^T
所以 k=1/k
所以 k= 1 or -1
若A正定,则k=1.
所以A的特征值都是 1.
所以A与单位矩阵相似
所以 A =E.
反之显然.