我是高数菜鸟,请教一个关于极限和界限的定理证明题.有些疑问请求指教定理 若数列{ xn } 有极限,则{ xn }有界（n是下标）证明 要证明：存在正数M,使得所有xn都满足不等式|xn| ≤ M (n=1,2,………)设 Lim xn =a 则由定义知道,对ε=1,存在正整数N,使得当n>N 时,有|xn -a| n→∞从而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a|取M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 则不等式|xn| ≤ M 对一切正整数n 成立,即有 界 { xn }有界.疑问1：ε一般情况下,不是无穷小吗,这里怎么设定为1?疑问2：M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 这个集合怎么来的?什么意思?为什么这样设?更正：从而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a| 整个证明过程中，没发现设定为1 有什么作用。如果ε不设定为1，则xn -a|
我是高数菜鸟,请教一个关于极限和界限的定理证明题.有些疑问请求指教
定理 若数列{ xn } 有极限,则{ xn }有界（n是下标）
证明 要证明：存在正数M,使得所有xn都满足不等式
|xn| ≤ M (n=1,2,………)
设 Lim xn =a 则由定义知道,对ε=1,存在正整数N,使得当n>N 时,有|xn -a| n→∞
从而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a|
取M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 则不等式|xn| ≤ M 对一切正整数n 成立,即有 界 { xn }有界.
疑问1：ε一般情况下,不是无穷小吗,这里怎么设定为1?
疑问2：M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 这个集合怎么来的?什么意思?为什么这样设?
更正：从而|xn|=|(xn-a)+a| ≤|(xn-a) |+|a| 整个证明过程中，没发现设定为1 有什么作用。如果ε不设定为1，则xn -a|
疑问1：ε是表示无穷小，因为|xn -a|
疑问2：M=max{ 1+|a|, |x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} ，因为x1至xn都在极限上下浮动，所以只要小于他们的 最大值就可以了
这种题其实说不太清楚，关键还是多看看课本
ε为任意大于0的数 可以任取
当人 你可以带着ε 也可以自己去取 都一样 因为极限定义的ε是任取 既然极限存在 我们随便取一个1 也满足不等式
M=max{ 1+|a|,|x1|,|x2|,|x3|,… |xN|} 这是取最大的集合 也就是 取 所有Xn都满足的集合
这样不等式|xn| ≤ M 对一切正整数n 成立,即有 界 { xn }有界