证明方程X^5+5X+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根.
问题描述：
证明方程X^5+5X+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根.
答
设f(x)=X^5+5X+1
f(0)=1,f(-1)=-3
所以在区间(-1,0)f(x)和x轴有交点,即X^5+5X+1=0区间(-1,0)内有实根
f'(x)=5x⁴+5＞0
所以f(x)是单调递增函数,与x轴只有一个交点
综上所述方程X^5+5X+1=0在区间(-1,0)内有且只有一个实根
答
f(-1)=-5,f(0)=1
求导5x^4+5>0恒成立，所以函数在定义域内单调递增
所以在(1,0)只有一个实根
答
令f(x) = x^5+5x+1
则f'(x) = 5x^4 + 5,导函数在(-1,0)上恒大于0
所以f(x)严格递增,又因为f(-1) = -1 -5 +1 = -5 0且f(x)在(-1,0)上连续
由中值定理可得,必定存在t属于(-1,0)且f(t)=0.因为严格递增,此t必定唯一.