点P在以F1、F2为焦点的双曲线E：x^2/a^2-y^2/b^2=1上,已知PF1垂直于PF2,PF1的模等于二倍PF2的模,O为坐标原点,（1）球双曲线的离心率e （2）过点P作直线分别于双曲线渐近线相交于P1、P2两点,且向量OP1点乘向量OP2=-27/4,二倍向量PP1+向量PP2=零向量,求双曲线E的方程 （3）若过Q(M,0)的直线l与第二问中双曲线E相交于双曲线顶点的两点M、N,且向量MQ=α向量QN,问在x轴上是否存在定点G,使向量F1F2垂直于（向量GM-α向量GN）?
问题描述：
点P在以F1、F2为焦点的双曲线E：x^2/a^2-y^2/b^2=1上,已知PF1垂直于PF2,PF1的模等于二倍PF2的模,O为坐标原点,（1）球双曲线的离心率e （2）过点P作直线分别于双曲线渐近线相交于P1、P2两点,且向量OP1点乘向量OP2=-27/4,二倍向量PP1+向量PP2=零向量,求双曲线E的方程 （3）若过Q(M,0)的直线l与第二问中双曲线E相交于双曲线顶点的两点M、N,且向量MQ=α向量QN,问在x轴上是否存在定点G,使向量F1F2垂直于（向量GM-α向量GN）?
答
1、∵PF1-PF2=2a ,PF1=2PF2
∴PF2=2a,PF1=4a
带入：PF2^2+PF1^2=4c^2
得：b=2a
e=c/a=(a^2+b^2)^0.5/a=√5