若tan(π/4+φ)=2010,求1/(cos2φ)+tan2φ+1的值?这道题除了的出tanφ=2009/2010,再进一步求值外,还有没有更简便点的解法?比如把题中的式子化简?因为光是单纯的代入tanφ=2009/2010,最后会出现一个非常大的数.

tan(π/4+φ)
=[tan(π/4)+tan(φ)] / [1-tan(π/4)*tan(φ)]
=[1+tan(φ)]/[1-tan(φ)]
=2010

1/(cos2φ)+tan2φ
=1/[cos^2(φ)-sin^2(φ)]+2tan(φ)/[1-tan^2(φ)]
=[sin^2(φ)+cos^2(φ)]/{cos^2(φ)*[1-tan^2(φ)]}+2tan(φ)/[1-tan^2(φ)]
=[tan^2(φ)+1]/[1-tan^2(φ)]+2tan(φ)/[1-tan^2(φ)]
=[tan^2(φ)+1+2tan(φ)] / [1-tan^2(φ)]
=[1+tan(φ)]^2/{[1+tan(φ)]*[1-tan(φ)]}
=[1+tan(φ)]/[1-tan(φ)]
=2010
...

不需要求tanφ,直接化简tan(π/4+φ)=(cosφ+sinφ)/(cosφ-sinφ)=(1+2sinφcosφ)/cos2φ
又1/(cos2φ)+tan2φ+1=)=(1+2sinφcosφ)/cos2φ+1=2011,答案为2011