设б是数域F上有限维向量空间V的一个线性变换,б的值域的维数dim（бV）=1 证明：（1）存在唯一的数c∈F,使得б²=cб（2)如果c≠1,则 I-б为可逆的线性变换,这里的I是恒等变换

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:20:04

问题描述：

设б是数域F上有限维向量空间V的一个线性变换,б的值域的维数dim（бV）=1 证明：
（1）存在唯一的数c∈F,使得б²=cб
（2)如果c≠1,则 I-б为可逆的线性变换,这里的I是恒等变换

答

取V的一组基,使得б在这组基下的表示矩阵A只有第一列非零,换句话说A=xy^T,x,y是列向量,y=[1,0,...,0]^T.
那么A^2=xy^Txy^T=(y^Tx)A,由于A非零,这个常数c=y^x只能是唯一的
然后直接验证(I-xy^T)(I+xy^T/(1-c))=I