若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )A. A与B相似B. A≠B,但|A-B|=0C. A=BD. A与B不一定相似,但|A|=|B|
问题描述:
若n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,则( )
A. A与B相似
B. A≠B,但|A-B|=0
C. A=B
D. A与B不一定相似,但|A|=|B|
答
n阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量,
设其特征值为λ1,λ2,…,λn,则A,B均可对角化,
即存在可逆矩阵P,Q,使得PAP−1=diag(λ1,λ2,…,λn)=QBQ−1,
因此A,B都相似于同一个对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn),
所以,A与B相似.
故选:A.
答案解析:直接利用矩阵的相似对角化求解即可得到A,B相似.
考试点:线性无关的概念;矩阵可相似对角化的充分必要条件.
知识点:本题考查矩阵相似对角化的性质.相似对角化关键不在特征值的数量,而在线性无关的特征向量数量.