【高数】利用曲线积分计算旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱与ox轴围成的面积求讲解>.
问题描述：
【高数】利用曲线积分计算旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱与ox轴围成的面积
求讲解>.
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根据格林公式，平面闭区域D的面积S＝1/2∫(L) xdy-ydx，这里L是D的边界曲线，方向是正方向。
旋轮线与x轴的一个交点是原点，记来一个交点是A，记旋轮线上从A到原点的一段是L，则面积S＝1/2∫(OA+L) xdy-ydx＝1/2∫(OA) xdy-ydx＋1/2∫(L) xdy-ydx＝0＋1/2∫(2π到0) [a^2(t-sint)sint-a^2(1-cost)^2]dt＝1/2*a^2∫(0到2π) [tsint)sint-a^2(1-cost)^2]dt＝3πa^2
答
A=∫ （0到2π）y(t)dx(t)
=∫ （0到2π）x'乘以y d(t) 而x'乘以y=a(1-cost)乘以a(1-cost)
所以
A=∫ （0到2π）{a²（1-2cost+cos²t）}dt
=a²乘以∫ （0到2π）（3/2-2cost+1/2cos2t）dt=3a²π
这是我们高数书上的完整解答.字打得比较搓,希望别见怪.