圆锥中母线一定时,圆锥的半径与高成什么关系时,其体积最大?圆锥母线L长是一定的,半径R,和高H关系是：L²=R²+H²,圆心角也是未知的,设为θ°圆锥的半径与高成什么关系时,其体积最大?
问题描述：
圆锥中母线一定时,圆锥的半径与高成什么关系时,其体积最大?
圆锥母线L长是一定的,半径R,和高H关系是：L²=R²+H²,圆心角也是未知的,设为θ°
圆锥的半径与高成什么关系时,其体积最大?
答
当R^2=2H^2时，体积最大，根据V=1/3πR^2H可得，体积取决于H×R^2，为构造均值不等式（三项），满足和为定值的情况，对其平方可得H^2×R^2×R^2=1/2×2H^2×R^2×R^2≤1/2×（2L^2/3）^3，取等条件为2H^2=R^2
答
圆锥的体积V=(1/3)πR²H=(1/3)π(L²-H²)*H
===> V=(1/3)π(L²*H-H^3)
===> V'=(1/3)π(L²-3H²)
所以,当L²-3H²=0,即H=(√3/3)L时,体积有最大值
此时,R²=L²-H²=L²-(L²/3)=(2/3)L²
则,R=(√6/3)L
所以,R/H=√2,此时体积最大.