已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两点焦点 F1 ,F2 的距离分别为3分之 4根号5 和 3分之2根号5 .过点P做焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.）
问题描述：
已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两点焦点 F1 ,F2 的距离分别为3分之 4根号5 和 3分之2根号5 .过点P做焦点所在轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程.）
答
1.设直线和椭圆的两焦点坐标是A(x1,y1) B(x2,y2) AB中点为M(x,y)椭圆方程为 X^2 +2y^2=2代入A(x1,y1)得 X1^2 +2y1^2=2 一式代入B(x2,y2)得 X2^2 +2y2^2=2 二式一式-二式得（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0M(x,y)为AB中点所以 x=（x1+x2）/2 y=（y1-y2）/2所以（x1-x2）2x+2（y1-y2）2y=0变型得k=（y1-y2）/（x1-x2）=-x/y用M P 两点求斜率得 k=(y-1)/(x-2)所以 (y-1)/(x-2)=-x/y化简得x^2+2y^2-2x-2y=0 2.直线y=kx+1中代入x=0 得y=1 所以直线过点（0,1） 只要（0,1）在椭圆内或在椭圆上 那么直线和椭圆就一定有公共点 所以 0^2/5 + 1^2/m =1 或m=1
希望对你能有所帮助。
答
两种情况.
由|PF1|+|PF2|=2√5,得a=√5,
由已知,不妨设PF2垂直于长轴,于是 |PF1|=4√5/3,|PF2|=2√5/3,
由勾股定理,4c²=|F1F2|²=|PF1|²-|PF2|²=20/3,c²=5/3
b²=a²-c²=10/3
所以 椭圆方程为 x²/5+3y²/10=1或y²/5+3x²/10=1