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设函数f(x)＝13x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是 ______．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:13:57
问题描述：

设函数f(x)＝

1
3
x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数，则实数a的取值范围是 ______．

答

∵函数f(x)＝

1
3
x3+ax2+5x+6
∴f′（x）=x2+2ax+5
∵函数f(x)＝
1
3
x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数
∴f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立
即：a≥-（
5
2x
+
x
2
）或a≤-（
5
2x
+
x
2
）在[1，3]上恒成立
∴a≥[-（
5
2x
+
x
2
）]max或a≤[-（
5
2x
+
x
2
）]min
而3 ≥
5
2x
+
x
2
≥
 5

∴a≥-
 5
或a≤-3
故答案为：（-∞，-3]∪[−
 5
，+∞)
答案解析：先由函数，求导，再由“函数f(x)＝
1
3
x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上是单调函数”转化为“f′（x）=x2+2ax+5≥0或f′（x）=x2+2ax+5≤0在[1，3]上恒成立”，进一步转化为最值问题：a≥-（
5
2x
+
x
2
）或a≤-（
5
2x
+
x
2
）在[1，3]上恒成立，求得[-（
5
2x
+
x
2
）]max，[-（
5
2x
+
x
2
）]min即可．
考试点：利用导数研究函数的单调性．
知识点：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．

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