如果在【-a,a】区间内,定积分∫[f(x)]²dx=0,那么恒有f(x)=0吗?
问题描述：
如果在【-a,a】区间内,定积分∫[f(x)]²dx=0,那么恒有f(x)=0吗?
答
如果f(x)是连续函数,那么必有f(x)=0
但是f(x)只是可积,但不连续的话,那么f(x)≠0"如果f(x)是连续函数，那么必有f(x)=0",请问怎么证明？f(x)如果不连续，怎么能可积呢？又为什么f(x)≠0？另，我的问题有些问题，应该是：如果在【a，b】区间内,定积分∫[f(x)]²dx=0，那么恒有f(x)=0吗？f(x)连续，则f²(x)连续，又f²(x)≥0若存在一点t，使得f(t)≠0，由于f(t)连续∴存在t的邻域，使得当x∈(t-δ,t+δ)时有f(x)≠0∴f²(x)>0，∴∫[-a,a]f²(x)dx≥∫[t-δ,t+δ]f²(x)dx>0这与∫[a,b]f²(x)dx=0矛盾，∴对任意x∈[a,b]，都有f(x)=0如果f(x)不连续，那么x≠0时，令f(x)=0，而f(0)=1则有∫[a,b]f²(x)dx=0，但f(x)不恒等于0，这是∵f(0)≠0