已知函数f(x)＝lnx+1x−1（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f(x)＝lnx+1x−1＞lnm(x−1)(7−x)恒成立，求实数m取值范围．

问题描述：

已知函数f(x)＝ln

x+1

x−1

（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）对于x∈[2，6]，f(x)＝ln

x+1

x−1

＞ln

(x−1)(7−x)

恒成立，求实数m取值范围．

答

（1）由

x+1

x−1

＞0，解得x＜-1或x＞1，∴定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞）（2分）
当x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，f(−x)＝ln

−x+1

−x−1

＝ln

x−1

x+1

＝ln(

x+1

x−1

)−1＝−ln

x+1

x−1

＝−f(x)
∴f(x)＝ln

x+1

x−1

是奇函数． …．（5分）
（2）由x∈[2，6]时，f(x)＝ln

x+1

x−1

＞ln

(x−1)(7−x)

恒成立，
∴

x+1

x−1

＞

(x−1)(7−x)

＞0，
∵x∈[2，6]，∴0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立…（8分）
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，x∈[2，6]，
由二次函数的性质可知x∈[2，3]时函数单调递增，x∈[3，6]时函数单调递减，
∴x∈[2，6]时，g（x）_min=g（6）=7
∴0＜m＜7…．（12分）
答案解析：（1）利用真数大于0，可得函数的定义域，利用奇偶函数的定义，可得函数f（x）的奇偶性；
（2）将问题转化为0＜m＜（x+1）（7-x）在x∈[2，6]成立，利用二次函数的性质，即可求得结论．
考试点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；对数函数的定义域．

知识点：本题考查函数的性质，考查恒成立问题，解题的关键是确定函数的定义域，利用奇偶性的定义，熟练掌握二次函数的性质．

已知函数f(x)＝lnx+1x−1（1）求函数f（x）的定义域，并判断函数f（x）的奇偶性；（2）对于x∈[2，6]，f(x)＝lnx+1x−1＞lnm(x−1)(7−x)恒成立，求实数m取值范围．

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