已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立．（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；（2）若g(x)＝a(x+1x)在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x1，x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若g(x)＝a(x+
)在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围． 1 x
答
知识点：考查反例在证明问题中的重要作用，同时考查不等式恒成立问题的解法．
（1）f（x）=3x-1∉M，可举反例说明：
若x1=1，x2=2，则f（x1）=4，f（x2）=7，|f（x1）-f（x2）|=3≤1=|x1-x2|不成立．
（2）对任意两个自变量x1，x2∈（1，+∞），g(x)＝a(x−
)1 x
因为|g（x1）-g（x2）|=|a(x1−
)−a(x2−1 x1
)|＝|a|•|(x1−x2)+(1 x2
)|x2−x1
x1x2
=|a|•|x1−x2|•|1−
| ≤|x1−x2|恒成立．1
x1x2
⇒|a|•|1−
|≤1⇒|a|≤|1
x1x2
|1 |1−
|1
x1x2
又x1＞1，x2＞1⇒x1x2＞1⇒|1−
| ∈（0，1）⇒|1
x1x2
| ∈（1，+∞）1 |1−
|1
x1x2
即|a|≤1
故a的取值范围是：[-1，1]
答案解析：（1）判断f（x）是否属于集合M，就看其是否满足条件，通过具体的反例可以直接判断出来．
（2）g（x）属于M则满足不等式条件，通过解恒成立的不等式，进而求得a的范围．
考试点：抽象函数及其应用；元素与集合关系的判断．
知识点：考查反例在证明问题中的重要作用，同时考查不等式恒成立问题的解法．