一道有关中值定理的高数题求解答f(x)在[a,b]上可导,f(a)=f(b)=1,求证：存在c,d∈(a,b),使得[e^(c-d)][f(d)+f'(d)]=1
问题描述：
一道有关中值定理的高数题求解答
f(x)在[a,b]上可导,f(a)=f(b)=1,求证：存在c,d∈(a,b),使得[e^(c-d)][f(d)+f'(d)]=1
答
[e^xf(x)]'=e^x[f(x)+f'(x)],对e^xf(x)在区间[a,b]上用拉格朗日中值定理,存在d∈(a,b),使得
e^d[f(d)+f'(d)]=(e^bf(b)-e^af(a))/(b-a)
即e^d[f(d)+f'(d)]=(e^b-e^a)/(b-a) ①
再对e^x在区间[a,b]上用拉格朗日中值定理,存在c∈(a,b),使得
(e^b-e^a)/(b-a)=e^c ②
有①②得
e^d[f(d)+f'(d)]=e^c
即e^{d-c}[f(d)+f'(d)]=1
不知道是不是你打错了,我的是e^{d-c}而不是e^{c-d}