已知函数f（x）=2x/x2+1，求函数的定义域、值域，并判断奇偶性和单调性．
问题描述：
已知函数f（x）=
，求函数的定义域、值域，并判断奇偶性和单调性． 2x
x2+1
答
∵x2+1＞0恒成立，∴函数的定义域为R．
若x=0，则f（x）=0，
若x≠0时，f（x）=
=2x
x2+1
，2 x+
1 x
若x＞0，x+
≥21 x
＝2，此时0＜
x•
1 x
≤1，2 x+
1 x
若x＜0，则x+
≤−21 x
＝−2，此时-1≤
(−x)•
1 −x
＜0，2 x+
1 x
综上-1≤f（x）≤1，即函数的值域为[-1，1]．
f（-x）=
＝−f(x)，即函数f（x）是奇函数．−2x
x2+1
函数的导数为f′（x）=
，2−2x2
(x2+1)2
由f′（x）＞0解得 2-2x2＞0，即x2＜1，解得-1＜x＜1，此时函数单调递增．
由f′（x）＜0解得 2-2x2＜0，即x2＞1，解得x＞1或x＜-1，此时函数单调递减．