请教一道高数的证明题设b>a>e,证明(a^b)>(b^a)
问题描述:
请教一道高数的证明题
设b>a>e,证明(a^b)>(b^a)
答
blna/alnb>1
也就是证lna/a>lnb/b
y=lnx/x
y'=1/x^2-lnx/x^2
在区间(e,+∞) y'y=lnx/x单调递减
又b>a>e
所以lna/a>lnb/b
blna>alnb
e^(blna)>e^(alnb)
∴(a^b)>(b^a)
答
原式两边取对数
(a^b)>(b^a)
转换为
bLna>aLnb
就是要证
(Lna)/a>(Lnb)/b
可以知道当x>e时
y=(Lnx)/x是减函数
求导可以证明
所以当b>a时
bLna>aLnb
注 Ln是自然对数符号
答
要证b^a>a^b
只需证明ln(b^a)>ln(a^b)
即:alnb>blna
又:a>b>e
则:lna>lnb>1
所以只需证明lnb/b>lna/a即可
令f(x)=lnx/x
f'(x)=(1-lnx)/x^2
当lnx>1即x>e时,f'(x)b>e时,f(a)lna/a
故原命题得证