设p是质数且p>2,正整数k使得（k^2-pk)^(1/2)也是一个正整数,则k为多少?
问题描述：
设p是质数且p>2,正整数k使得（k^2-pk)^(1/2)也是一个正整数,则k为多少?
答
k^2-pk=n^2,(k+n)(k-n)=pk, 所以要么k+n能被p整除，要么k-n能被p整除，如果是后者，k-n=pj，那么j*(k+n)=k显然不可能。所以k+n能被p整除,设k+n=mp(1)
。那么就有m*(k-n)=k, n=(m-1)*k/m(2)，(2)代入(1)得k*(2m-1)/m=mp(3).或者(2m-1)*n/(m-1)=mp(4)，即n=m(m-1)*p/(2m-1)。显然m(m-1)不能被2m-1整除，所以p必须被2m-1整除，只可能p=2m-1，所以k=m^2*p/(2m-1)=m^2=(p+1)^2/4。可以带到原式检查一下k^2-pk=(p+1)^4/16-p(p+1)^2/4=(p^2-1)^2/16，确实是个完全平方数。
答
假设k²-pk=m²,其中m是正整数,则k²-m²=pk,所以(k+m)(k-m)=pk.已知m是正整数,所以k+m和k-m都不能是k,而又知道p是质数,所以说,只能令k=ab,其中k+m=ap,k-m=b.由k+m=ap,得到ab+m=ap.所以m=a(p-b).又...