在数列{an}中,a1=1,(n+1)an=(n-1)a(n-1) (n大于等于2),求通项公式
问题描述:
在数列{an}中,a1=1,(n+1)an=(n-1)a(n-1) (n大于等于2),求通项公式
答
在数列{An}中,A1=1,A(n+1)=An/(1+nAn )
对A(n+1)=An/(1+nAn )两边取倒数得
1/A(n+1)=(1/An)+n
∴∵1/A(n+1)-(1/An)=n
∴ (1/An)-1/A(n-1)=n-1
1/A(n-1)-1/A(n-2)=n-2
……
1/A2-1/A1=1
上述n-1式相加得
(1/An)-1/A1=1+2+3+……+(n-1)
=(1+n-1)*(n-1)/2
得到(1/An)=1+[n(n-1)/2]=(n²-n+2)/2
所以An=2/(n²-n+2)
答
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)a2/a1=1/3a3/a2=2/4a4/a3=3/5a5/a4=4/6.a(n-2)/a(n-3)=(n-3)/(n-1)a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/nan/a(n-1)=(n-1)/(n+1)累乘,得:an/a1=2/(n(n+1))因为a1=1所以an=2/(n(n+1))