证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx．
问题描述：
证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx．
答
证明：令f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，x≥0，则f（0）=0，且在[0，+∞）上可导．
因为f′（x）=ln（1+x）+1-
1 1+x2
=ln（1+x）+
，x2 1+x2
故当x＞0时，f′（x）＞0，
从而，f（x）在[0，+∞）上严格单调递增，
故当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即：（1+x）ln（1+x）＞arctanx．