f（x）为定义在R上不恒为0的函数,f(a*b)=af(b)+bf(a)f(2)=2Un=f(2^n)求证U(n+1)大于Un

用差比的方法。
U(n+1)-U(n)=f(2^(n+1))-f(2^n)
=f(2*2^n)-f(2^n)
=2f(2^n)+2^nf(2)-f(2^n)
=f(2^n)+2^(n+1)
下面证明f(2^n)+2^(n+1)>0对所有的n成立,先用数学归纳法证明f(2^n)>0成立。
当n=1时，f(2)=2>0;
假设当n=k时成立，即f(2^k)>0,则 n=k+1时
f(2^(k+1))=f(2*2^k)=2f(2^k)+2^(k+1)>2^(k+1)>0,也成立
所以，对所有的n,有f(2^n)>0.
=>f(2^n)+2^(n+1)>0
=>U(n+1)-U(n)>0
证毕。

U(2)-U(1)
=f(4)-f(2)
=2f(2)+2f(2)-f(2)
=3f(2)
=6>0
假设U(k)>U(k-1)
U(k+1)-U(k)
=f(2^(k+1))-f(2^k)
=2f(2^k)+2^kf(2)-f(2^k)
=f(2^k)+2^(k+1)
>f(2^k)-f(2^(k-1))+2^(k+1)
>2^(k+1)>0

f(a*b)=af(b)+bf(a)
U1=f(2)=2
U2=f(4)=2*2+2*2=8
U2>U1
Un+1=f(2^n*2)=2f(2^n)+2^nf(2)=2Un+2^(n+1)>Un