将正方形ABCD的BC边延长到E,使CE=AC,AE与DC边相交于F点,求证CE:FC=1+√2

问题描述:

将正方形ABCD的BC边延长到E,使CE=AC,AE与DC边相交于F点,求证CE:FC=1+√2

用正弦定理,把问题转换成求角CFE和角E的正弦之比:
由CE=AC,得角E=角CAF,则角CFE=角FAC+角ACF=角E+45度;
再由正弦和角公式即得。

证明:设正方形边长为1,
则有AC=√2=CE,BE=1+√2,BA=1
因为△EFC∽△EAB,
所以CE:CF=BE:BA=1+√2