过点M(2,1)作椭圆X^2+4Y^2=16的弦AB,若M是AB的中点,求弦AB所在的直线方程

由于椭圆是轴对称的，M（2，1）显然不是垂直于x轴的弦中点
我们用直线的 点斜式方程 y-1=k(x-2)即 y=kx-2k+1
将直线方程与椭圆方程联立 即将 y=kx-2k+1 代入椭圆方程并化简
由条件 M为中点 则 x1+x2=4 y1+y2=2
利用根与系数关系 即可确定斜率k的取值

设直线与椭圆与交与两点（x1,y1）（x2,y2）,然后得下列方程
x1^2+4*y1^2=16;x2^2+4*y2^2=16;
x1+x2=4;y1+y2=2;
解得四个未知数，再根据两点求解方程即可

设A(x1,y2),B(x2,y2).则x12+4y12=16,x22+4y22=16.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，又x1+x2=4(二倍M的横坐标）,y1+y2=2（2倍M的纵坐标），代入得(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2.所以直线AB的斜率为-1/2,又M在AB上，可以求得方程为x+2y-4=0

设弦中点M(2,1),弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),
所以有:(x1+x2)/2=2,(y1+y2)/2=1,
A、B坐标分别代入椭圆方程,得
x1^2+4y1^2=16
x2^2+4y2^2=16
二式相减得:
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0
4(x1-x2)+4*2(y1-y2)=0
(y2-y1)/(x2-x1)=-1/2,
即直线斜率k=-1/2,直线经过（2，1），
故直线方程为：(y-1)=-1/2(x-2),
化简，x+2y-4=0.

直线是y-1=k(x-2)y=kx+(1-2k)代入椭圆(1+4k²)x²+8k(1-2k)x+4(1-2k)²-16=0x1+x2=-8k(1-2k)/(1+4k²)中点横坐标(x1+x2)/2=-4k(1-2k)/(1+4k²)=2-4k+8k²=2+8k²k=-1/2所以是x+2y-4=0...

y= -0.5x+2
设A(x,y),B(4-x,2-y),代入椭圆，解方程组，得两点
(0,2),(4,0)