假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g″（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试证：（1）在开区间（a，b）内g（x）≠0；（2）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使f(ξ)g(ξ)＝f″(ξ)g″(ξ)．
问题描述：
假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g″（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试证：
（1）在开区间（a，b）内g（x）≠0；
（2）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使
＝f(ξ) g(ξ)
． f″(ξ) g″(ξ)
答
证明：（1）假设∃c∈（a，b），使得：g（c）=0，则：g（a）=g（b）=g（c）=0，对g（x）分别在[a，c]和[c，b]上使用罗尔定理，则：∃ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得：g′（ξ1）=g′（ξ2）=0，由于g（x）具有...
答案解析：（1）用反证法证明，对g（x）的两个区间分别使用罗尔定理，则在这两个区间内分别存在一点，使得一阶导数为零；再对g'（x）在一阶导数为零的两个点为端点的区间，使用罗尔定理，则存在二阶导为零的点，这与已知的g″（x）≠0矛盾．
（2）由
＝f(ξ) g(ξ)
得到f″（ξ）g（ξ）-g″（ξ）f（ξ）=0，也就是要证明f″（x）g（x）-g″（x）f（x）=0在（a，b）有零点，而f″（x）g（x）-g″（x）f（x）=0的一个原函数是f（x）g'（x）-g（x）f'（x），因此构造一个函数F（x）=f（x）g'（x）-g（x）f'（x）在（a，b）使用罗尔定理．f″(ξ) g″(ξ)
考试点：用罗尔定理判断导函数根的存在问题；高阶导数的求法．
知识点：此题是考查罗尔定理的使用，关键要从题目的条件和要证明的结论入手，寻找两者的关联点，有时候需要在两个不同的区间使用罗尔定理，并且使用两次罗尔定理．