已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．
问题描述：
已知函数f（x）=x3+mx2-m2x+1（m为常数，且m>0）有极大值9．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线y=f（x）的切线，求此直线方程．
答
从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-
．
又f（-1）=6，f（-
）=
，
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-
=-5（x+
），
即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．
答案解析：（I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．
（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于-5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．
考试点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程．
知识点：本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．
（Ⅰ）f’（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=
m，1 3
当x变化时，f’（x）与f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，-m） | -m | （-m，
|
| （
|
||||||
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，∴m=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，
依题意知f’（x）=3x2+4x-4=-5，∴x=-1或x=-
| 1 |
| 3 |
又f（-1）=6，f（-
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| 3 |
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| 27 |
所以切线方程为y-6=-5（x+1），或y-
| 68 |
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即5x+y-1=0，或135x+27y-23=0．
答案解析：（I）求出导函数，求出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值．
（II）将（I）求出的m的值代入导函数，利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率，令导数等于-5，求出x即切点横坐标，将横坐标代入f（x）求出切点坐标，利用直线方程的点斜式写出切线方程．
考试点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程．
知识点：本题考查利用导数求函数的极值的步骤：求出导数；令导数为0求出根；列出表格判断根左右两边导函数的符号；求出极值．考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．