求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!
问题描述：
求级数 ∑(x-3)^n / n-n^3 的收敛半径和收敛域!
最好把步骤写下 尤其是收敛域
答
令t＝x－3,级数变为∑t^n/(n-n^3),ρ＝lim(n→∞)|a(n+1)/an|＝lim(n→∞)|n(1-n^2)/(n+1)((n+1)^2-1)|＝lim(n→∞)n/(n+2)＝1,所以收敛半径为R＝1
因为lim(n→∞) |1/(n^3-n)/(1/n^3)|＝lim(n→∞) n^2/(n^2-1)＝1,所以级数∑1/(n^3-n)收敛,所以t＝±1时,级数∑t^n/(n-n^3)都收敛,所以收敛域是[-1,1]
所以,原级数∑(x-3)^n/(n-n^3)的收敛域是|x-3|≤1,即[2,4],收敛半径是1