已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=1/2OB． （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
问题描述：
已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=
OB．1 2
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
答
（1）证明：如图，连接OA；
∵OC=BC，AC=
OB，1 2
∴OC=BC=AC=OA．
∴△ACO是等边三角形．
∴∠O=∠OCA=60°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
又∠OCA为△ACB的外角，
∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，
∴∠B=30°，又∠OAC=60°，
∴∠OAB=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2） 作AE⊥CD于点E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=
；
2
∵∠D=30°，
∴AD=2
，
2
∴DE=
AE=
3
，
6
∴CD=DE+CE=
+
6
．
2