函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[m,n]包含于D,使f(x)在[m,n]上的值域为[½m,½n],那么就称y=f(x)为“好函数”.现有f(x)=loga(a^x+k),(a＞0,a≠1）是“好函数”,则k的取值范围是A.(0,¼） B.(负无穷,¼） C .(0,正无穷） D.(0,¼）
问题描述：
函数f(x)的定义域为D,若满足
①f(x)在D内是单调函数,②存在[m,n]包含于D,使f(x)在[m,n]上的值域为[½m,½n],那么就称y=f(x)为“好函数”.现有f(x)=loga(a^x+k),(a＞0,a≠1）是“好函数”,则k的取值范围是
A.(0,¼） B.(负无穷,¼） C .(0,正无穷） D.(0,¼）
答
此题的考点是：函数的值域．
专题：计算题．
分析：由题意可知f（x）在D内是单调增函数,才为“好函数”,从而可构造函数f(x)=12x,转化为求loga(ax+k)=12x有两异正根,k的范围可求．
因为函数f（x）=loga（ax+k）,（a＞0,a≠1）在其定义域内为增函数,则若函数y=f（x）为“好函数”,
方程f(x)=12x必有两个不同实数根,
∵loga(ax+k)=12x⇔ax+k=ax2⇔ax-ax2+k=0,
∴方程t2-t+k=0有两个不同的正数根,k∈(0,14)．
故选D．
点评：本题考查函数的值域,难点在于构造函数,转化为两函数有不同二交点,利用方程解决,属于难题．
这么详细加效率,楼主果断采纳吧!