一道平面向量的证明题在△ABC中,任作一条直线l,分别交直线AB,AC于D,E,若 (向量AD)=x×(向量AB) ,(向量AE)=y×(向量AC) ,求证:1/x+1/y=3 的充要条件是 直线l恒过△ABC重心G.(原题无图)

设O是BC边中点
AG=2/3*AO=2/3*(AB+AC)/2=(AB+AC)/3
直线l恒过△ABC重心G.
只要有GD//DE就行
也就是
（AD-AG） =xAB-(AB+AC)/3=（x-1/3）AB-AC/3=k(AE-AD)=kyAC-kxAB
so
(ky+1/3)AC=(kx+x-1/3)AB
因为AB，AC不共线
so
ky+1/3=0
kx+x-1/3=0
k=-1/(3y)
k=1/(3x)-1
消去k
so
-1/(3y)=1/(3x)-1
so
1/x+1/y=3.
反之亦然。
重点是先把重心的表达写出来，自己整理一下吧。

依题意,假设L就是过重心G的一条直线,若能证明出1/x+1/y=3也就能说明问题：1/x+1/y=3 的充要条件是：直线L恒过△ABC重心G.
下面就证明过G的直线L能推导出1/x+1/y=3
延长AG交BC于M
由直线的向量形式的参数方程得：（打“向量”太麻烦,下面我都不打向量二字,写在前的表起点,写在后的表终点）AG=kAD+(1-k)AE
因为AD=xAB,AE=yAC
所以AG=kxAB+(1-k)yAC ①
又G为三角形的重心,所以M为三角形的中线（即M为BC中点）
所以AM=1/2AB+1/2AC
且AG=2/3AM,得到AG=1/3AB+1/3AC ②
所以由①②：1/3AB+1/3AC=kxAB+(1-k)yAC
所以1/3=kx,1/3=(1-k)y
消去k得1/x+1/y=3
希望我的回答你能满意!