设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(x-c)=f(x+c),且EX存在,证明EX=c
问题描述：
设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(x-c)=f(x+c),且EX存在,证明EX=c
设随机变量X的概率密度函数为f(x)关于x=c对称,即f(c-x)=f(c+x),且EX存在,证明EX=c
答
EX=在区间(-无穷大,+无穷大)积分xf(x)dx,换元:u=x-c,du=dx 有=在区间(-无穷大,+无穷大)积分(u+c)f(u+c)du,=在区间(-无穷大,+无穷大)积分[uf(u+c) +cf(u+c)]du容易知道:f(u)=uf(u+c)为奇函数:g(-u)=-uf(-u+c)= -uf(u+...因为,在区间(-无穷大,+无穷大)积分f(u)du=1. (概率密度的性质)故:在区间(-无穷大,+无穷大)积分f(u+c)du =(换元: t=u+c dt=du)=在区间(-无穷大,+无穷大)积分f(t)dt=1.