离心率为根号3/2的椭圆截直线X+2Y+8=0所得的弦长为根号10 求椭圆方程如题,求简洁的过程.
问题描述：
离心率为根号3/2的椭圆截直线X+2Y+8=0所得的弦长为根号10 求椭圆方程
如题,求简洁的过程.
答
设标准方程，将直线X+2Y+8=0代入得二元一次方程运弦长公式得出a的平方
再由离心率为根号3/2得出c的平方最后得出b^2
附d = √(1+k^2)|x1-x2|或d = √(1+1/k^2)|y1-y2|
(k为二元一次方程的二次项系数）
答
e=c/a=√3/2
a²=4c²/3
b²=a²-c²=c²/3
所以3x²/4c²+3y²/c²=1或3y²/4c²+3x²/c²=1
3x²/4c²+3y²/c²=1
3x²+12y²=4c²
x=-2y-8
所以6y²+24y+48-c²=0
y1+y2=-4,y1y2=(48-c²)/6
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=16-2(48-c²)/3=(-48+2c²)/3
x=-2y-8
(x1-x2)²=(-2y1+2y2)²=4(y1-y2)²
所以√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[5(y1-y2)²]=√10
(-48+2c²)/3=2
c²=54
a²=72
b²=18
3y²/4c²+3x²/c²=1
同理得c²=1155/8
a²=385/2
b²=385/8
所以
x²/72+y²/18=1
8x²/385+2y²/385=1