x+y为有理数,x^2+y^2为有理数 求证x^4+y^4为有理数求证 x^8+y^8为有理数
问题描述：
x+y为有理数,x^2+y^2为有理数 求证x^4+y^4为有理数
求证 x^8+y^8为有理数
答
∵x+y是有理数
∴(x+y)^2是有理数
x^2+2xy+y^2是有理数
∵x^2+y^2是有理数
∴2xy是有理数
∴xy是有理数
∴x^2y^2是有理数
∵x^2+y^2是有理数
∴(x^2+y^2)^2是有理数
∴x^4+2x^2y^2+y^4是有理数
∵2x^2y^2是有理数
∴x^4+y^4是有理数
（2）所以(x^4+y^4)^2是有理数
∴x^8+2x^4y^4+y^8是有理数
∵x^2y^2是有理数
∴x^4y^4是有理数
∴2x^4y^4是有理数
∴x^8+y^8为有理数
答
（x+y)^2是有理数 所以xy也是有理数 (因为x^2+y^2是有理数）后面几个就可以退出来了
答
因为 (x+y)^2=x^2+y^2+2xy 为有理数
x^2+y^2为有理数
所以 xy是有理数
所以 x^4+y^4=(x^2+y^2)-2x^2y^2为有理数
同理 x^8+y^8=(x^4+y^4)-2x^4y^4为有理数
小结：有理数的运算是封闭的,只需将需证式转化为有理数的运算的形式,问题便可解决.