设*是集合s上的二元代数运算,且满足结合律,设x,y是s中任意元素,如果x*y=y*x,则x=y.试证明*满足等幂

问题描述:

设*是集合s上的二元代数运算,且满足结合律,设x,y是s中任意元素,如果x*y=y*x,则x=y.试证明*满足等幂

任意取x
存在y
满足x*y=y*x
分别在等式的左边和右边*x运算得一下两式
x*y*x=y*x*x
x*x*y=x*y*x
可知y*(x*x)=(x*x)*y
则x*x=y=x
即满足等幂
不知是否严谨

严谨证明如下:
证明:
任意x
设:x*x=y
则:(x*x)*x=x*(x*x)
y*x=x*y
所以:x=y
所以:x*x=x