已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于0的常数.求证:f(x)-(1-x)/ax大于等于(x-1)/(a^2+1)x,在区间[1,+&)上恒成立
问题描述:
已知函数f(x)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于0的常数.求证:f(x)-(1-x)/ax大于等于(x-1)/(a^2+1)x,在区间[1,+&)上恒成立
答
f(x)-(1-x)/ax=lnx+(1-x)/ax-(1-x)/ax=lnx,
即要证x>1时,lnx>=(x-1)/(a^2+1)x
(a^2+1)xlnx>=x-1
令G(x)=(a^2+1)xlnx-x+1
G'(x)=(a^2+1)(1+lnx)-1
=(a^2+1)lnx+a^2,x>=1,lnx>=0,a>0,得G'(x)>=0
得G(x)>=G(1)=0
即(a^2+1)xlnx-x+1>=0
(a^2+1)xlnx>=x-1
原式得证.