设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,求a的取值范围.

问题描述:

设a>1,若对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=3,求a的取值范围.

∵logax+logay=3,
∴logaxy=3,
即xy=a3,得y=

a3
x

则函数y=f(x)=
a3
x
,在[a,2a]上单调递减,
∴y∈[
1
2
a2
,a2],
1
2
a2
≥a,
解得a≥2,
故a的取值范围是[2,+∞).