函数计算题求解已知f '(e^x)=xe^x ,且f(1)=0,则f(x)=?
问题描述：
函数计算题求解
已知f '(e^x)=xe^x ,且f(1)=0,则f(x)=?
答
先将xe^x积分得xe^x-e^x+C (C为常数）
得f（e^x)=xe^x-e^x+C
f(1)=0
C=1
f(x)=xlnx-x+1
答
令e^x=t 则：x=lnt
所以：f'(t)=t * lnt
用不定积分算下：∫tlnt dt = 1/2 t^2 lnt - ∫1/2 t dt =1/2 t^2 lnt -1/4 t^2 +C C为任意常数
因为f(1)=0 所以带入上式算出C=1/4
所以f(x)=1/2 x^2 lnx -1/4 x^2 +1/4
答
f'(e^x)=x e^x
f'(y)=y ln y
f'(x)=x ln x
f(x)=x lnx - x + C
因为f(1)=C-1=0
所以C=1
所以fx=x lnx - x + 1