如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延长线相交于点E，且AB=AE．（1）求证：AD⊥PD；（2）若圆的半径为1，△ABE是等边三角形，求BP的长．
问题描述：
如图所示，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PD切⊙O于C，BC和AD的延
长线相交于点E，且AB=AE．
（1）求证：AD⊥PD；
（2）若圆的半径为1，△ABE是等边三角形，求BP的长．
答
（1）证明：连OC，如图，
∵PD切⊙O于C，
∴OC⊥PD，
∵AB=AE，
∴∠2=∠E，
而OC=OB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴OC∥AE，
∴AD⊥PD；
（2）∵△ABE是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠COB=60°，
而∠OCP=90°，OB=OC=1，
∴∠P=30°，
∴OP=2OC=2，
∴BP=2-1=1．
答案解析：（1）连OC，根据切线的性质得到OC⊥PD，又AB=AE，OC=OB，则∠2=∠E，∠1=∠2，得到∠1=∠E，则OC∥AE，即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得∠A=60°，则∠COB=60°，则∠P=30°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2OC=2，从而求出BP．
考试点：切线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；三角形中位线定理；圆周角定理．
知识点：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．