已知椭圆方程是x平方／a方+y平方/b方=1,A是椭圆的右顶点,M,N是椭圆上异于A的不同点,且AM＝AN.求证M,N关于x轴对称.△AMN面积的最大值
问题描述：
已知椭圆方程是x平方／a方+y平方/b方=1,A是椭圆的右顶点,M,N是椭圆上异于A的不同点,且AM＝AN.求证M,N关于x轴对称.△AMN面积的最大值
答
设M(X1,Y1)、N(X2,Y2)
则|AM|=((X1-a)^2+Y1^2)^0.5 |NA|=((X2-a)^2+Y2^2)^0.5
又因为AM＝AN
所以x1^2-2ax1+y1^2=x2^2-2ax2+y2^2
联立x平方／a方+y平方/b方=1得 (x1^2-x2^2)-(x1^2-x2^2)/a^2-2a(x1-x2）=0
所以当且仅当x1=x2时,上式成立.故M,N关于x轴对称
由题意易知当x1=x2=0时,△AMN面积有最大值.此时|MN|=2b,
所以S△AMN=0.5*2b*a=ab