设f(x)是定义在上的函数,对m,n属于R恒有fm+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0

问题描述:

设f(x)是定义在上的函数,对m,n属于R恒有fm+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0

令m=1,n=0,由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
1>0 0f(0)=1

证明:f(0)=f(o×0)=f(0)f(0)=f²(0),故有f²(0)-f(0)=f(0)[f(0)-1]=0,故有f(0)=1或f(0)=0.
若f(0)=0,则f(x)=(x+0)=f(x)f(0)=0,即f为常数函数,与条件矛盾,故f(0)=1

设f(x)是定义在上的函数,m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)f(n),且当x>0时,0

f(2+0)=f(2)f(0)
x>0时,0f(0)=1