设数列{an}的前n项和Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1（n∈N*）．（1）求证：数列{1Sn−1}为等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．

问题描述：

设数列{a_n}的前n项和S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根为S_n-1（n∈N^*）．
（1）求证：数列{

Sn−1

}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

答

（1）（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0…（1）；
代入n=1，得S₁=a₁=

…（2）；
当n＞1时，
由a_n=S_n-S_n-1，代入式（1）得
S_n=

2−Sn−1

S_n-1=

2−Sn−1

-1=

Sn−1−1

2−Sn−1

∴

Sn−1

Sn−1−1

=-1
故数列{

Sn−1

}为等差数列；
（2）再由（1）知数列{

Sn−1

}是为以-2为首项，-1为公差数列
∴

Sn−1

=-1-n
∴S_n=

n+1

∴a_n=S_n-S_n-1=

n(n+1)

答案解析：（1）把a_n=S_n-S_n-1，代入x²-a_nx-a_n=0中化简整理得S_n=

2−Sn−1

，等式两边同时减1，整理后同时取倒数，整理得

Sn−1

Sn−1−1

=-1，进而可证明数列{

Sn−1

}为等差数列．
（2）由（1）可求得数列{S_n}的通项公式，再根据a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式．
考试点：等差关系的确定；数列递推式．
知识点：本题主要考查了等差数列的性质．主要考查了等差数列的判定和求和问题．